Tìm tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Câu 560182: Tìm tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\pi }}{2}\)

B. \(\pi \)

C. \(\dfrac{\pi }{4}\)

D. \(\dfrac{{7\pi }}{2}\)

Câu hỏi : 560182

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác: \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + l2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,\,\,l \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Cho các nghiệm tìm được thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\), tìm các giá trị nguyên k, l thỏa mãn,.

- Suy ra các nghiệm của phương trình thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) và tính tổng.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{4} = x + \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\2x - \dfrac{\pi }{4} = \pi - x - \dfrac{{3\pi }}{4} + l2\pi \,\,\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{l2\pi }}{3}\,\,\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < \pi + k2\pi < \pi \\0 < \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{l2\pi }}{3} < \pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 1 + 2k < 1\\0 < 1 + 4l < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \emptyset \\l \in \left\{ {0;1} \right\}\end{array} \right.\).
Suy ra có 2 nghiệm thỏa mãn là: \(x = \dfrac{\pi }{6},\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(S = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{5\pi }}{6} = \pi \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.