Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\), điểm \(M\left( {\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). \(N\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) có giá trị bằng:

Câu 561418: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\), điểm \(M\left( {\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). \(N\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) có giá trị bằng:

A. \(2\).

B. \( - 2\).

C. \(\dfrac{5}{2}\).

D. \(\dfrac{{ - 5}}{2}\).

Câu hỏi : 561418

Phương pháp giải:

- Tính IM.

- Gọi d’ là đường thẳng đi qua I, M. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên đường thẳng \(d'\) đi qua \(I,M\).

- Tính \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IM.NH\), do IM không đổi nên \({S_{\Delta IMN}}\) nhỏ nhất khi NH nhỏ nhất \( \Rightarrow d\left( {N,d'} \right)\) nhỏ nhất.

- Sử dụng công thức \(NH = d\left( {N;d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\), với \(\overrightarrow {u'} \) là 1 VTCP của đường thẳng d’.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{9} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}} = \dfrac{2}{3}\).

Gọi d’ là đường thẳng đi qua I, M.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên đường thẳng \(d'\) đi qua \(I,M\).

Ta có: \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IM.NH = \dfrac{1}{3}NH\).

Suy ra, diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài \(NH\) nhỏ nhất \( \Rightarrow d\left( {N,d'} \right)\) nhỏ nhất.

Vì \(N \in d \Rightarrow N\left( {2;t;1 + t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IN} = \left( {1;t;1 + t} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \dfrac{2}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}} \right) = - \dfrac{2}{9}\left( {1; - 2; - 2} \right)\) nên đường thẳng \(d'\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2;t + 3; - t - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(NH = d\left( {N;d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {t + 3} \right)}^2} + {{\left( { - t - 2} \right)}^2}} }}{3} = \dfrac{{\sqrt {2{{\left( {t + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}} }}{3} \ge \dfrac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(t = - \dfrac{5}{2}\), khi đó \(N\left( {2; - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - \dfrac{5}{2}\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 2 + \left( { - \dfrac{5}{2}} \right) + \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) = - 2\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.