Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 6\). Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left[ {x.f\left( {{x^2}} \right) - {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)} \right]dx\)?

Câu 565288: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 6\). Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left[ {x.f\left( {{x^2}} \right) - {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)} \right]dx\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \( - 1\)

D. \(\dfrac{1}{6}\)

Câu hỏi : 565288

Phương pháp giải:

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {x.f\left( {{x^2}} \right)dx} - \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( {{x^3}} \right)dx} = A - B\).
+ Tính \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^1 x.f\left( {{x^2}} \right)dx\).
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0\) và \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Khi đó \(A = \dfrac{1}{2}\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( t \right)dt = \dfrac{1}{2}\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\).
+ Tính \(B = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx\).
Đặt \(t = {x^3} \Rightarrow dt = 3{x^2}dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0\) và \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Khi đó \(B = \dfrac{1}{3}\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( t \right)dt = \dfrac{1}{3}\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\).
Vậy \(I = A - B = 3 - 2 = 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.