Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x > 1,y > 1\) và \({\log _x}\left( {\sqrt[3]{{xy}}} \right) = m\), với \(m\) là tham số thực. Giá trị của \(m\) sao cho \(P = \log _x^2y + 16{\log _y}x\) đạt giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 567556: Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x > 1,y > 1\) và \({\log _x}\left( {\sqrt[3]{{xy}}} \right) = m\), với \(m\) là tham số thực. Giá trị của \(m\) sao cho \(P = \log _x^2y + 16{\log _y}x\) đạt giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {0;2} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( { - 2;0} \right)\)

D. \(\left( {3;4} \right)\)

Câu hỏi : 567556

Quảng cáo

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

\({\log _x}\left( {\sqrt[3]{{xy}}} \right) = m \Leftrightarrow {\log _x}xy = 3m \Leftrightarrow {\log _x}y = 3m - 1\)
Ta có \({\log _x}y > 0\)
\(P = \log _x^2y + 16{\log _y}x = \log _x^2y + \dfrac{{16}}{{{{\log }_x}y}}\)
\( = \log _x^2y + \dfrac{8}{{{{\log }_x}y}} + \dfrac{8}{{{{\log }_x}y}}\)
\( \ge 3\sqrt[3]{{\log _x^2y.\dfrac{8}{{{{\log }_x}y}}.\dfrac{8}{{{{\log }_x}y}}}} = 12\)
\(P\) đạt GTNN khi \(\log _x^2y = \dfrac{8}{{{{\log }_x}y}}\)
\( \Leftrightarrow \log _x^3y = 8 \Leftrightarrow {\log _x}y = 2 \Leftrightarrow 3m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.