Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SB\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Trên \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\). Mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(N\). Tỉ số thể tích giữa khối chóp \(S.BCNM\) và \(S.ABCD\) bằng

Câu 575492: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SB\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Trên \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\). Mặt phẳng \(\left( {BMC} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(N\). Tỉ số thể tích giữa khối chóp \(S.BCNM\) và \(S.ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{5}{9}\)

B. \(\dfrac{4}{9}\)

C. \(\dfrac{5}{7}\)

D. \(\dfrac{4}{7}\)

Câu hỏi : 575492

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \subset \left( {MBC} \right)}\\{AD \subset \left( {SAD} \right)}\\{BC||AD}\\{M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MN,MN||AD,N = MN \cap SD\)
Ta có \(\left( {\widehat {SB,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\)
Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có \(SA = \tan {60^0}.AB = a\sqrt 3 \)
Và \(SM = SA - AM = a\sqrt 3 - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Cách 1:
+ \(\dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SO}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\)
\( \Leftrightarrow {V_{S.MNC}} = \dfrac{4}{9}{V_{S.ADC}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{2}{9}{V_{S.ABCD}}\) \(\left( 1 \right)\)
+ \(\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {V_{S.MBC}} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có:
\(\dfrac{{{V_{S.BCNM}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{V_{S.MNC}} + {V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{9}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{5}{9}\)
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh (chỉ đúng khi đáy là hình bình hành)
\(\dfrac{{{V_{S.BCNM}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{{SA}}{{SM}} + \dfrac{{SD}}{{SN}} + 1 + 1}}{{4.\dfrac{{SA}}{{SM}}.\dfrac{{SD}}{{SN}}.1.1}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} + 1 + 1}}{{4.\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}.1.1}} = \dfrac{5}{9}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.