Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\)?

Câu 576311: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\)?

A. \(\dfrac{2}{5}\)

B. \( - 1\)

C. \(\dfrac{3}{5}\)

D. 1

Câu hỏi : 576311

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {{e^{2x}}\left( {2\sin x + \cos x} \right)dx} = {e^{2x}}\sin x + C\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2x}}\sin x\).
Do F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {a + 2b} \right)\cos x} \right] = {e^{2x}}\sin x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow T = a + 2b - 1 = - 1\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.