Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;3;9} \right)\) bán kính bằng \(3\). Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\dfrac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

Câu 577837: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;3;9} \right)\) bán kính bằng \(3\). Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\dfrac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

A. \(39\).

B. \(12\sqrt 3 \).

C. 18 .

D. \(28\sqrt 3 \).

Câu hỏi : 577837

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng các điều kiện tiếp xúc: \({\rm{d}}\left( {I,\left( {OMN} \right)} \right) = R\), điều kiện để \(A,\,M,\,N\)thẳng hàng: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AN} \).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(I\left( {1;3;9} \right)\) và \(R = 3\). Suy ra \({\rm{d}}\left( {I,\left( {OMN} \right)} \right) = 3\).
Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( {OMN} \right)\) tại \(A\left( {1;0;9} \right)\).
Gọi tọa độ \(M\left( {m;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;0;n} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {m - 1;0; - 9} \right);\overrightarrow {AN} = \left( { - 1;0;n - 9} \right)\). Do \(A,M,N\) thẳng hàng nên \(\left( {m - 1} \right)\left( {n - 9} \right) = 9\left( 1 \right)\).
Do \(IA \bot \left( {OMN} \right)\) và \(H\) là trung điểm \(MN\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \({\rm{\Delta }}OMN\).
Suy ra \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(IOMN \Rightarrow KH \subset \left( {IMN} \right)\)
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(\dfrac{{13}}{2}\) (đường tròn lớn)
\(\dfrac{1}{2} \cdot IH \cdot MN = \dfrac{{IM \cdot IN \cdot MN}}{{4 \cdot \dfrac{{13}}{2}}} \Leftrightarrow IM \cdot IN = 39 \Leftrightarrow \left( {{{(m - 1)}^2} + 90} \right)\left( {{{(n - 9)}^2} + 10} \right) = 39\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {m - 1} \right)\left( {n - 9} \right) = 9}\\{\left( {{{(m - 1)}^2} + 90} \right)\left( {{{(n - 9)}^2} + 10} \right) = 39}\end{array}} \right.\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {{(m - 1)}^2}}\\{v = {{(n - 9)}^2}}\end{array}} \right.\), ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 81}\\{(\left( {m - 1{)^2} + 90} \right) (\left( {n - 9{)^2} + 10} \right) = 39}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 81}\\{\left( {u + 90} \right)\left( {v + 10} \right) = 1521}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{uv = 81}\\{90v + 10u = 540}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 27}\\{v = 3}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(AM.AN = \sqrt {u + 81} \sqrt {v + 1} = 12\sqrt 3 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.