Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\)thoả mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\,\left| {{z_3}} \right| = 2\)và \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}({z_1} + {z_2})\). Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích tam giác ABC bằng

Câu 585336: Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\)thoả mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\,\left| {{z_3}} \right| = 2\)và \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}({z_1} + {z_2})\). Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích tam giác ABC bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}.\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 7 }}{4}.\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{2}.\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 7 }}{2}.\)

Câu hỏi : 585336

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi điều kiện \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}({z_1} + {z_2})\) về \(\left| {3{z_1}z{ _2}} \right| = \left| {4{z_3}({z_1} + {z_2}) } \right|\). Từ đó biến đổi về dạng gọn hơn \(\left| {{z_1} - ( - {z_2})} \right| = 3.\)

- Lấy điểm D đối xứng với B qua O, khi đó D biểu diễn\( - {z_2}\).

- Suy ra độ dài AD. Tính AB, \(\cos \angle BOC\); BC, AC.

- Tính diện tích ABC.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có

\(3{z_1}z{ _2} = 4{z_3}({z_1} + {z_2})\)\( \Rightarrow \left| {3{z_1}z{ _2}} \right| = \left| {4{z_3}({z_1} + {z_2}) } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {3{z_1}z{ _2}} \right| = \left| {4{z_3}({z_1} - ( - {z_2})) } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {{z_1} - ( - {z_2})} \right| = 3.\)

Lấy D đối xứng với B qua O, suy ra D biểu diễn \( - {z_2}\).

Ta có

\(\left| {{z_1} - ( - {z_2})} \right| = 3 \Leftrightarrow AD = 3.\)

có trung tuyến \(AO = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại A

\( \Rightarrow AB = \sqrt {B{D^2} - A{D^2}} = \sqrt 7 .\)

Ta có: \(3{z_1}z{ _2} = 4{z_3}({z_1} + {z_2})\)\( \Leftrightarrow {z_1}(3{z_2} - 4{z_3}) = 4{z_2}{z_3}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {3{z_2} - 4{z_3}} \right| = \left| {4{z_2}{z_3}} \right|\)\( \Rightarrow \left| {3{z_2} - 4{z_3}} \right| = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {OB} - 4\overrightarrow {OA} } \right| = 4\)

\( \Leftrightarrow 9O{B^2} + 16O{C^2} - 24.OB.OC.\cos \angle BOC = 16\)

\( \Leftrightarrow \cos \angle BOC = \dfrac{3}{4}.\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác BOC ta có:

\(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2} - 2OB.OC.\cos \angle BOC} \)\( = \sqrt {4 + 1 - 4.\dfrac{3}{4}} = \sqrt 2 .\)

Tương tự ta tính \(AC = \sqrt 2 .\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.