Biết \(\int\limits_1^5 {\dfrac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của a + b + c bằng

Câu 595226: Biết \(\int\limits_1^5 {\dfrac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của a + b + c bằng

A. \(\dfrac{7}{3}.\)

B. \(\dfrac{5}{3}.\)

C. \(\dfrac{8}{3}.\)

D. \(\dfrac{4}{3}.\)

Câu hỏi : 595226

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt {3x + 1} = t.\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\sqrt {3x + 1} = t \Rightarrow 3x + 1 = {t^2}\).
Vi phân: 3dx = 2tdt.
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 5 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).
Thay:
\(\begin{array}{l}\int\limits_2^4 {\dfrac{1}{{1 + t}}.\dfrac{2}{3}tdt} = \dfrac{2}{3}\int\limits_2^4 {\dfrac{t}{{1 + t}}dt} = \dfrac{2}{3}\int\limits_2^4 {\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt} \\ = \dfrac{2}{3}\left. {\left( {t - \ln \left| {1 + t} \right|} \right)} \right|_2^4 = \dfrac{2}{3}\left( {4 - \ln 5} \right) - \dfrac{2}{3}\left( {2 - \ln 3} \right)\\ = \dfrac{2}{3}\left( {2 - \ln 5 + \ln 3} \right) = \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3}\ln 3 - \dfrac{2}{3}\ln 5\\ \Rightarrow a = \dfrac{4}{3},\,\,b = \dfrac{2}{3},\,\,c = - \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{4}{3}.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.