Xét các số phức z thoả mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {z - 2 + 2i} \right|\) bằng

Câu 623914: Xét các số phức z thoả mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {z - 2 + 2i} \right|\) bằng

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{3}{2}\).

C. \(\sqrt 5 \).

D. 1.

Câu hỏi : 623914

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đưa \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\) về dạng tích và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 - 2i} \right|\left| {z - 1 + 2i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|\left| {z + 3i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|\left[ {\left| {z - 1 - 2i} \right| - \left| {z + 3i - 1} \right|} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0\\\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 - 2i\\\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: Với \(z = 1 - 2i\) thì \(\left| {z - 2 + 2i} \right| = \left| {1 - 2i - 2 + 2i} \right| = 1.\)
TH2: Với z thoả mãn (*).
Đặt \(z = x + yi\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {x + yi - 1 - 2i} \right| = \left| {x + yi + 3i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 2 = y + 3\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\y - 2 = - y + 3 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng \(y = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow y - \dfrac{5}{2} = 0.\) (d)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, A(2;-2) là điểm biểu diễn số phức 2 – 2i ta có \(\left| {z - 2 + 2i} \right|\) = MA.
Khi đó \(\left| {z - 2 + 2i} \right|\)min khi \(MA = d\left( {A,d} \right) = \left| { - 2 - \dfrac{5}{2}} \right| = \dfrac{9}{2}.\)
Qua 2 trường hợp ta thấy \(\left| {z - 2 + 2i} \right|\)min = 1 khi \(z = 1 - 2i\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.