Cho khối nón tròn xoay có đỉnh \(S\), đáy là đường tròn tâm \(O\), góc ở đỉnh bằng \({120^0}\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thay đổi, đi qua \(S\) và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác \(SAB\). Biết rằng giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(SAB\) là \(2{a^2}\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) trong trường hợp diện tích tam giác \(SAB\) đạt giá trị lớn nhất là

Câu 634552: Cho khối nón tròn xoay có đỉnh \(S\), đáy là đường tròn tâm \(O\), góc ở đỉnh bằng \({120^0}\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thay đổi, đi qua \(S\) và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác \(SAB\). Biết rằng giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(SAB\) là \(2{a^2}\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) trong trường hợp diện tích tam giác \(SAB\) đạt giá trị lớn nhất là

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(a\sqrt 2 \).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Câu hỏi : 634552

Quảng cáo

Phương pháp giải:

\({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB.\sin S \le \dfrac{1}{2}S{A^2},\,\,{S_{SAB\max }} = \dfrac{1}{2}S{A^2}\) khi và chỉ khi \(\widehat S = {90^0}\).

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của AB, dựng OK vuông góc SI \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK\).
Ta có: \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB.\sin \angle ASB \le \dfrac{1}{2}S{A^2}\).
\( \Rightarrow {S_{SAB}}\max = \dfrac{1}{2}S{A^2}\) khi và chỉ khi \(\angle ASB = {90^0} \Leftrightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại S.
\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}S{A^2} = 2{a^2} \Rightarrow SA = 2a \Rightarrow AB = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AI = a\sqrt 2 \).
Tam giác SAO vuông tại O \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = SA.\cos \angle ASO = 2a.\cos {60^0} = a\\OA = SA.\sin \angle ASO = SA.\sin {60^0} = a\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Tam giác OAI vuông tại I \( \Rightarrow OI = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác SOI vuông tại O có: \(SO = OI = a \Rightarrow OK = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) trong trường hợp diện tích tam giác \(SAB\) đạt giá trị lớn nhất là \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.