Đề thi Cao đẳng môn Toán khối A, B, D năm 2009

Câu 1: Cho hàm số y = x³ – (2m – 1)x² + (2 – m)x + 2    (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương

Câu 2: Giải phương trình (1 + 2 sin x)² cos x = 1 + sin x + cos x.

Câu 3: Giải bất phương trình:  + 2 ≤  (x ∈ R)

Câu 4: Tính tích phân:  I = (e^-2x + x)e^x dx

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√2 . Gọi M , N  và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN  vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP

Câu 6: Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh rằng a² ln b – b² ln a > ln a – ln b

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC  có  C (−1; − 2), đường trung tuyến kẻ từ  A  và đường cao kẻ từ  B  lần lượt có phương trình là  5x + y − 9 = 0  và x + 3 y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

Câu 8: Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz, cho  các  mặt  phẳng (P₁) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P₂) : 3x + 2 y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P₁) và (P₂)

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)² (2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆₁: x - 2y - 3 = 0 và ∆₂: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆₁ sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆₂ bằng .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC  có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và trọng tâm G(0; 2; −1).  Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ).