Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, đáy lớn BC = 2a, đáy nhỏ AD = a.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} .\)

b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} ,\) từ đó suy ra giá trị của \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\)

Câu 218019: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, đáy lớn BC = 2a, đáy nhỏ AD = a.

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} .\)

b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} ,\) từ đó suy ra giá trị của \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\)

A. \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

B. \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{{10}}.\)

C. \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\sqrt {10} }}{{3}}.\)

D. \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\sqrt {3} }}{{10}}.\)

Câu hỏi : 218019

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc 3 điểm: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} .\)

b) Gán hệ trục tọa độ sao cho B là gốc tọa độ, \(A \in Oy,C \in {\rm{Ox}}\). Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D trong hệ trục tọa độ đó. Sau đó tính \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \) và sử dụng công thức \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\) để tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AD} .\)

b) Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

B(0; 0), A(0; a), D(a; a); C(2a; 0).

Khi đó: \(\overrightarrow {AC} = \left( {2a, - a} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {a;a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 2a.a - a.a = {a^2}.\)

Ta lại có \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{AC.BD}}\)

Xét tam giác vuông ABC có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 .\)

Xét tam giác vuông ABD có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{{a^2}}}{{a\sqrt 5 .a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây