Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;0;1),B(0;1;0),C(1;0;0)\) và phương trình \(d:x=y=-z\). Tìm \(M\in d\)sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\)min.

Câu 221940: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;0;1),B(0;1;0),C(1;0;0)\) và phương trình \(d:x=y=-z\). Tìm \(M\in d\)sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\)min.

A. \(M(-1;-1;1)\)

B. \(M(1;1;-1)\)

C. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\)

D. \(M\left( -\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\)

Câu hỏi : 221940

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Lấy \(M\in d\)
Tính giá trị của \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\)
Biến về bài toán Min, Max

Đáp án : D
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lấy \(M\in (d)\Rightarrow M(t;t;-t)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {t;t; - t - 1} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {t;t - 1; - t} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {t - 1;t; - t} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {CM} = \left( {t + 1;t - 1; - 1 - t} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {CM} } \right| = \sqrt {2{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {3{t^2} + 2t + 3} = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + \frac{2}{3}t + 1} = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{8}{9}} \ge \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(t=-\frac{1}{3}\). Suy ra \(M\left( -\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.