Kí hiệu \(\left( H \right)\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left( x-1 \right){{e}^{x}},\) trục tung và trục hoành. Thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V=\left( {{e}^{a}}-b \right)\pi ,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Tính \(P=2{{a}^{2}}-b.\)

Câu 222124: Kí hiệu \(\left( H \right)\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left( x-1 \right){{e}^{x}},\) trục tung và trục hoành. Thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V=\left( {{e}^{a}}-b \right)\pi ,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Tính \(P=2{{a}^{2}}-b.\)

A. \(P=3.\)

B. \(P=5.\)

C. \(P=7.\)

D. \(P=9.\)

Câu hỏi : 222124

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Đáp án : A
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( x-1 \right){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2\left( x-1 \right){{e}^{x}} \right)}^{\,2}}\text{d}x}=4\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{2x}}\,\text{d}x}.\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \left( {2x - 2} \right)\,{\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2} - {I_0}\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {I_0} = \left. {\frac{{\left( {x - 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{1}{2} - \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{3 - {e^2}}}{4}.\)

Vậy

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{e^2} - 5}}{4}\, \Rightarrow V = \left( {{e^2} - 5} \right)\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = {2.2^2} - 5 = 3.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.