Cho hàm số y = $\frac{x+3}{x-2}$ , có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm).

b. Tìm các giá trị m (m ∈ R) để đường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục tung sao cho góc AOB nhọn (O là gốc tọa độ).

Câu 41292: Cho hàm số y = $\frac{x+3}{x-2}$ , có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (HS tự làm).

b. Tìm các giá trị m (m ∈ R) để đường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục tung sao cho góc AOB nhọn (O là gốc tọa độ).

A. 2 < m < 3

B. -2 < m < - $\frac{3}{2}$

C. -2 < m < $\frac{3}{2}$

D. -3 < m < - $\frac{3}{2}$

Câu hỏi : 41292

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
a. Khảo sát và vẽ

Tập xác định D = R\{2}

Sự biến thiên

- Chiều biến thiên: y' = - $\frac{5}{(x-2)^{2}}$ < 0, ∀x ≠ 2.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn và tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }$ y = $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ y = 1 => Tiệm cận ngang y = 1

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}$ y = +∞, $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}$ y = -∞ => Tiệm cận đứng x = 2

- Bảng biến thiên:

Đồ thị

+ Giao điểm của (C) với Ox: (-3; 0)

+ Giao điểm của (C) với Oy: (0; - $\frac{3}{2}$ )

b. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d:

$\frac{x+3}{x-2}$ = -x + m ⇔ $\left\{\begin{matrix} x+3 = (x-2)(-x+m) & & \\ x\neq 2 & & \end{matrix}\right.$

⇔ x² – (m + 1)x + 2m + 3 = 0 (1)

(x = 2 không phải là nghiệm của phương trình (1))

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x₁.x₂ < 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = 2m + 3< 0 ⇔ m < - $\frac{3}{2}$

Khi đó A(x₁;-x₁+ m); B(x₂;-x₂+ m). Góc AOB nhọn khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{OA}$ . $\overrightarrow{OB}$ > 0 ⇔ m² – m(x₁+ x₂) + 2x₁x₂ > 0

⇔ m² – m(m + 1) + 2(2m + 3) > 0 (Theo Viet)

⇔ 3m + 6>0 ⇔ m > -2

kết hợp với điều kiện m < - $\frac{3}{2}$ ta được: -2 < m < - $\frac{3}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Ghi chú: Thí sinh có thể sử dụng định lý hàm số côsin

Điều kiện góc AOB nhọn tương đương với OA²+OB²- AB²> 0

⇔ m² – m(x₁+ x₂) + 2x₁x₂ > 0 ...

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.