Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {3;1; - 2} \right),\)\(C\left( {1; - 2;1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\) lớn nhất

Câu 412926: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {3;1; - 2} \right),\)\(C\left( {1; - 2;1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\) lớn nhất

A. \(M\left( {2;2;0} \right)\)

B. \(M\left( { - 2;2;2} \right)\)

C. \(M\left( {2; - 2; - 2} \right)\)

D. \(M\left( {3; - 2; - \dfrac{5}{2}} \right)\)

Câu hỏi : 412926

Phương pháp giải:

- Gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\)

- Thay vào biểu thức đã cho tìm GTLN.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {z^2} + 2z + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 6\\B{M^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} + 4z + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 14\\C{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 4y + 4 + {z^2} - 2z + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 6\\ \Rightarrow M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\\ = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 6} \right)\\ - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 14} \right)\\ - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 6} \right)\\ = - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 6x - 6y - 14\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Mà \(M \in \left( P \right):x - y + 2z = 0\) nên \(y = x + 2z\), thay vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\\ = - {x^2} - {\left( {x + 2z} \right)^2} - {z^2} + 6x - 6\left( {x + 2z} \right) - 14\\ = - {x^2} - {x^2} - 4xz - 4{z^2} - {z^2} + 6x - 6x - 12z - 14\\ = - 2{x^2} - 4xz - 5{z^2} - 12z - 14\\ = - 2{x^2} - 4xz - 2{z^2} - 3{z^2} - 12z - 12 - 2\\ = - 2\left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right) - 3\left( {{z^2} + 4z + 4} \right) - 2\\ = - 2{\left( {x + z} \right)^2} - 3{\left( {z + 2} \right)^2} - 2 \le - 2.0 - 3.0 - 2 = - 2\\ \Rightarrow M{A^2} - M{B^2} - M{C^2} \le - 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 0\\z + 2 = 0\\y = x + 2z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - 2\\x = 2\\y = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {2; - 2; - 2} \right)\)

Chú ý:
Có thể thay trực tiếp tọa độ các điểm M đã cho vào và tìm GTLN của biểu thức đã cho. Chú ý kiểm tra điều kiện \(M \in \left( P \right)\) trước khi thay.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.