Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\,\,\left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {2{z_1} - 3{z_2}} \right| = 4\). Tính giá trị biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\).

Câu 479724: Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\,\,\left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {2{z_1} - 3{z_2}} \right| = 4\). Tính giá trị biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\).

A. \(P = \sqrt {10} \)

B. \(P = \sqrt {11} \)

C. \(P = \sqrt {15} \)

D. \(P = 2\sqrt 5 \)

Câu hỏi : 479724

Phương pháp giải:

- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Tìm \(OM,\,\,ON\).

- Gọi \(M',\,\,N'\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(2{z_1},\,\,3{z_2}\). Tính \(M'N'\).

- Gọi \(N''\) là điểm biểu diễn số phức \(2{z_2}\), khi đó ta có \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON''} } \right| = OP\), với \(OMPN''\) là hình bình hành.

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác \(OM'N'\) tính \(\cos \angle M'ON'\).

- Tính \(O{P^2} = O{M^2} + ON'{'^2} + 2OM.ON''.\cos \angle M'ON'\).

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\).

Theo bài ra ta có \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\,\,\left| {{z_2}} \right| = 1\) \( \Rightarrow {z_1} \in \left( {O;2} \right)\), \({z_2} \in \left( {O;1} \right)\) \( \Rightarrow OM = 2,\,\,ON = 1\).

Gọi \(M',\,\,N'\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(2{z_1},\,\,3{z_2}\). Vì \(\left| {2{z_1} - 3{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow M'N' = 4\).

Gọi \(N''\) là điểm biểu diễn số phức \(2{z_2}\), khi đó ta có \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON''} } \right| = OP\), với \(OMPN''\) là hình bình hành.

Xét tam giác \(OM'N'\) có \(\cos \angle M'ON' = \dfrac{{OM{'^2} + ON{'^2} - M'N{'^2}}}{{2OM'.ON'}} = \dfrac{{{4^2} + {3^2} - {4^2}}}{{2.4.3}} = \dfrac{3}{8}\).

\( \Rightarrow O{P^2} = O{M^2} + ON'{'^2} + 2OM.ON''.\cos \angle M'ON' = 11 \Rightarrow OP = \sqrt {11} \).

Vậy \(P = \sqrt {11} \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.