Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\). Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x - 2y + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,x - 2z - 3 = 0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(d\) và\(\left( P \right)\), tính \(\varphi \).

Câu 479725: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\). Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x - 2y + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\,\,x - 2z - 3 = 0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(d\) và\(\left( P \right)\), tính \(\varphi \).

A. \(\varphi = {45^0}\)

B. \(\varphi = {30^0}\)

C. \(\varphi = {90^0}\)

D. \(\varphi = {60^0}\)

Câu hỏi : 479725

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\\\left( \beta \right)\end{array} \right.\) để tìm phương trình đường thẳng \(d\).

- Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(d\) và \(\left( P \right)\) thì \(\sin \varphi = \cos \angle \left( {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}\).

Đáp án : D
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\x - 2z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = t\\x = 3 + 2t\\y = \dfrac{{x + 1}}{2} = 2 + t\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\) là \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + t\\z = t\end{array} \right.\), do đó \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y + 5z + 8 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;4;5} \right)\).
Khi đó ta có: \(\sin \varphi = \cos \angle \left( {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \dfrac{{2.3 + 1.4 + 1.5}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\varphi = {60^0}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.