Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5,\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là

Câu 487071: Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5,\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là

A. \(\dfrac{5}{2}\)

B. \(\dfrac{7}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{3}{2}\)

Câu hỏi : 487071

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i\) \(\left( {{x_1},{y_1} \in \mathbb{R}} \right)\); \({z_2} = {x_2} + {y_2}i\) \(\left( {{x_2},{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_1} + 5} \right) + {y_2}i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + 5} \right)^2} + {y_2}^2 = 25\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({z_1}\) là đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} = 25\)

Ta có:

\(\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {{x_2} + 1} \right) + \left( {{y_2} - 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {{x_2} - 3} \right) + \left( {{y_2} - 6} \right)i} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + 1} \right)^2} + {\left( {{y_2} - 3} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_2} - 6} \right)^2} \Leftrightarrow 8{x_2} + 6{y_2} = 35\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(\Delta :8x + 6y = 35\).

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 5;0} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là \(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {8.\left( { - 5} \right) + 6.0 - 35} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{75}}{{10}} = \dfrac{{15}}{2} > R\)

Suy ra \(\Delta \) không cắt \(\left( C \right)\).

Do đó, nếu gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(\Delta \), \(d\) cắt \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) lần lượt tại \(M,N\) và \(H\) thì một trong hai đoạn thẳng \(HM,HN\) là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\) và \(\Delta \).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là:

\({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|_{\min }} = HM = d\left( {I,\Delta } \right) - R = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.