Hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a,\widehat {ACB} = {30^0}\) và \(SA = SB = SD\) với \(D\) là trung điểm \(BC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{4}\). Tính \(\cos \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Câu 487072: Hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a,\widehat {ACB} = {30^0}\) và \(SA = SB = SD\) với \(D\) là trung điểm \(BC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{4}\). Tính \(\cos \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{{11}}\)

B. \(3\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{{33}}\)

Câu hỏi : 487072

Quảng cáo

Đáp án : C
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(D\) là trung điểm \(BC\) và \(\widehat {ACB} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\) và \(BC = 2a,CA = a\sqrt 3 \)

Dựng \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H \in \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow H\) là tâm tam giác đều \(BAD\) do \(SA = SB = SD\)

Gọi hình chiếu của \(H\) lên \(AB,AC\) thứ tự là \(E,F\)

Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(BD\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {B{A^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(HE = HM = \dfrac{{AM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Ta có: \(SH \bot BC,AM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).

Kẻ \(MN \bot SA\) \(\left( {N \in SA} \right)\) thì \(MN\) là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\) hay \(MN = \dfrac{{3a}}{4}\)

\( \Rightarrow NA = \sqrt {M{A^2} - M{N^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Trong tam giác \(SAM\) có \(MN,SH\) là hai đường cao nên \(AH.AM = AN.AS\)

\( \Rightarrow AS = \dfrac{{AH.AM}}{{AN}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = a\).

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại \(A\) và các trục tọa độ như hình vẽ với tia \(Ox\) trùng với tia \(AB\), tia \(Oy\) trùng với tia \(AC\) và tia \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và có hướng theo \(\overrightarrow {HS} \)

Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng \(a\).

Khi đó: \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)

Do \(HF = AE = \dfrac{a}{2},HE = HM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(SH = a\) nên \(S\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{6};1} \right)\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là:

\(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;0; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là:

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( { - \sqrt 3 ; - 1; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), ta có:

\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {65} }}{{13}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.