Cho hàm số y = x³−3mx²+ 2   (1) , m là tham số thực.

  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1.

   b) Tìm m∈ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox một góc

   ϕ mà cos ϕ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Câu 54056: Cho hàm số y = x³−3mx²+ 2 (1) , m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1.

b) Tìm m∈ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục Ox một góc

ϕ mà cos ϕ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

A. m=2 hoăc m=-1

B. m=1 hoăc m=-1

C. m=1

D. m=-1

Câu hỏi : 54056

Quảng cáo

Đáp án : B
(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Khảo sát

Khi m=1 hàm số trở thành: y= x³ -3x² +2

+ TXĐ: D= R

+ Giới hạn: $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ = +∞ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty }$ = -∞

+Sự biến thiên

Y’= 3x² -6x, y’=0 <=> x=0 hoặc x=2

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (-∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên (0;2)

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, y_CĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x=2 , y_CT = -2

+ Đồ thị:

2. Ta có: y’= 3x² -6mx; y’=0 $\begin{bmatrix} x=0\\ x=2m \end{matrix}$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị <=>y’=0 có 2 nghiệm phân biệt <=> m≠0

Gọi A(0;2), B(2m;-4m³ +2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ =(2m; -4m³) và có vecto pháp tuyến là $\vec{n}$ =(2m²;1)

Trục Ox có vecto pháp tuyến là $\vec{j}$ =(0;1)

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với trục Ox góc $cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$ . Ta có:

cosⱷ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ <=> │cos( $\vec{i};\vec{j}$ )│= $\frac{1}{\sqrt{5}}$ <=> $\frac{\left | \vec{n}.\vec{j} \right |}{\left | \vec{n} \right |.\left | j \right |}=$ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ <=> $\frac{1}{\sqrt{4m^{4}+1}}=$ $\frac{1}{\sqrt{5}}$

<=> 4m⁴ +1 =5 <=> m=±1 (thỏa mãn điều kiện m ≠ 0)

Vậy m=1 hoăc m=-1

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.