Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ .\) Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác BCD, góc giữa SA và đáy bằng \(60^\circ \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ .\) Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác BCD, góc giữa SA và đáy bằng \(60^\circ \)
Câu 1: Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
Bước 1: Tính AG.
Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.
Bước 3: Tính SG
Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Bước 1: Tính AG.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
ABCD là hình thoi cạnh a nên \(BC = CD = a\), \(\angle BAD = \angle BCD = {60^0}\).
\( \Rightarrow \) Tam giác BCD là tam giác đều \( \Rightarrow CG = \dfrac{2}{3}.CO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\) \( \Rightarrow AG = 2CG = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.
Do SG vuông góc với (ABCD) nên góc giữa SA và đáy bằng góc giữa SA và hình chiếu của nó trên (ABCD) tức là góc giữa SA và GA \( \Rightarrow \) \(\angle SAG = {60^0}\).
Bước 3: Tính SG
Tam giác vuông SAG có \(\angle SAG = {60^0}\) nên \(SG = AG\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.\sqrt 3 = 2a\)
Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.
Ta có \(AC = 3CG = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a = a\sqrt 3 \)
Diện tích hình thoi ABCD là: \(S = \dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Thể tích S.ABCD: \(V = \dfrac{1}{3}SG.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
A. \(\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{17}}\)
B. \(\dfrac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}\)
C. \(\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{34}}\)
D. \(\dfrac{{2a\sqrt {34} }}{{17}}\)
Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH
Bước 1: Chứng minh \(GK \bot \left( {SBH} \right)\)
Bước 2: Chứng minh \(d\left( {AC,SB} \right) = GK\)
Bước 3: Tính GK
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH
Bước 1: Chứng minh \(GK \bot \left( {SBH} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}GH \bot BH\\BH \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SGH} \right) \Rightarrow BH \bot GK\\\left\{ \begin{array}{l}BH \bot GK\\GK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow GK \bot \left( {SHB} \right)\end{array}\)
Bước 2: Chứng minh \(d\left( {AC,SB} \right) = GK\)
Ta có BH // AC \( \Rightarrow AC//\left( {SHB} \right)\)
Mà \(SB \subset \left( {SHB} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {AC,\left( {SHB} \right)} \right) = d\left( {G,\left( {SHB} \right)} \right) = GK\).
Bước 3: Tính GK
Dễ thấy tứ giác OBHG là hình chữ nhật \( \Rightarrow HG = OB = \dfrac{a}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SGH ta có:
\(\dfrac{1}{{G{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{G^2}}} + \dfrac{1}{{G{H^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{{17}}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow GK = \dfrac{{2\sqrt {17} a}}{{17}}\)
Vậy \(d\left( {SB,AC} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
