Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = 1\). Số phức \(z - i\) có môdun nhỏ nhất là:

Câu 564547: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = 1\). Số phức \(z - i\) có môdun nhỏ nhất là:

A. \(\sqrt 5 - 2\)

B. \(\sqrt 5 - 1\)

C. \(\sqrt 5 + 1\)

D. \(\sqrt 5 + 2\)

Câu hỏi : 564547

Phương pháp giải:

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \({\rm{w}} = z - i \Rightarrow z = {\rm{w}} + i\)
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn hình học của số phức \({\rm{w}}\)
Từ giả thiết \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = 1\) ta được:
\(\left| {{\rm{w}} + i - 2 - 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} - 2 - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)
Suy ra tập hợp những điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn cho số phức \({\rm{w}}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và bán kính \(R = 1\)
Giả sử \(OI\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\) với \(A\) nằm trong đoạn thẳng \(OI\)
Ta có \(\left| {\rm{w}} \right| = OM\)
Mà \(OM + MI \ge OI \Leftrightarrow OM + MI \ge OA + AI \Leftrightarrow OM \ge OA\)
Nên \(\left| {\rm{w}} \right|\) nhỏ nhất bằng \(OA = OI - IA = \sqrt 5 - 1\) khi \(M \equiv A\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.