Trong các số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 1 + i} \right| = \left| {\overline z + 1 - 2i} \right|\), số phức \(z\) có môdun nhỏ nhất có phần ảo là:

Câu 564548: Trong các số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 1 + i} \right| = \left| {\overline z + 1 - 2i} \right|\), số phức \(z\) có môdun nhỏ nhất có phần ảo là:

A. \(\dfrac{3}{{10}}\)

B. \(\dfrac{3}{5}\)

C. \( - \dfrac{3}{5}\)

D. \( - \dfrac{3}{{10}}\)

Câu hỏi : 564548

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(z = x + yi,\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\).
Ta có: \(\left| {z - 1 + i} \right| = \left| {\overline z + 1 - 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 2} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = - 2x - \dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( { - 2x - \dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {5{x^2} + 6x + \dfrac{9}{4}} = \sqrt {5{{\left( {x + \dfrac{3}{5}} \right)}^2} + \dfrac{9}{{20}}} \ge \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}},\forall x \in {\bf{R}}\)
Có thể sử dụng máy tính tìm min \(\left| z \right|\)
Đầu tiên, ta chọn khoảng giá trị là:
Start: -5End: 5 Step: 0,5
Sau đó, khảo sát \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) để tìm min chính xác hơn.
Suy ra \(\min \left| z \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\) khi \(x = - \dfrac{3}{5} \Rightarrow y = - \dfrac{3}{{10}}\)
Vậy phần ảo của số phức \(z\) có môdun nhỏ nhất là \( - \dfrac{3}{{10}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.