Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(1 - {\log _{\dfrac{1}{7}}}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _7}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Câu 571747: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(1 - {\log _{\dfrac{1}{7}}}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _7}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

A. \( - 2 < m \le 5\).

B. \( - 2 \le m < 5\).

C. \(2 \le m < 5\).

D. \(2 < m \le 5\).

Câu hỏi : 571747

Phương pháp giải:

Hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a.f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \Delta < 0\) và \(a.f\left( x \right) \ge 0,\forall x \Leftrightarrow \Delta \le 0\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 > 0\\m{x^2} + 4x + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m{x^2} + 4x + m > 0\).
Bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Rightarrow \)\(m{x^2} + 4x + m > 0\) với mọi \(x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\). (1)
Bất phương trình:
\(\begin{array}{l}1 - {\log _{\dfrac{1}{7}}}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _7}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _7}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _7}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _7}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _7}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m\\ \Leftrightarrow \left( {7 - m} \right){x^2} - 4x + 7 - m \ge 0\end{array}\).
Bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Rightarrow \) \(\left( {7 - m} \right){x^2} - 4x + 7 - m \ge 0\) với mọi \(x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - m > 0\\\Delta ' = 4 - {\left( {7 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - m > 0\\\left[ \begin{array}{l}7 - m \ge 2\\7 - m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le 5\). (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được \(2 < m \le 5\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.