Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số thực \(m\) để phương trình \({z^2} + 3z + {m^2} - 2m = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\). Tổng tất cả các số trong tập \(S\) bằng

Câu 571749: Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số thực \(m\) để phương trình \({z^2} + 3z + {m^2} - 2m = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\). Tổng tất cả các số trong tập \(S\) bằng

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(6\).

D. \(2\).

Câu hỏi : 571749

Phương pháp giải:

Chia hai trường hợp: \(\Delta \ge 0\) và \(\Delta < 0\).

Đáp án : A
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\Delta = {3^2} - 4\left( {{m^2} - 2m} \right) = - 4{m^2} + 8m + 9\).
TH1: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 4{m^2} + 8m + 9 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {13} }}{2} \le m \le \dfrac{{2 + \sqrt {13} }}{2}\).
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực \({z_1},{z_2}\). Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = 2 \Leftrightarrow {z_1} = \pm 2\).
+) \({z_1} = 2 \Rightarrow \)\({2^2} + 3.2 + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 10 = 0\): vô nghiệm.
+) \({z_1} = - 2 \Rightarrow \)\({\left( { - 2} \right)^2} + 3.\left( { - 2} \right) + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 3 \\m = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) (Thỏa mãn).
TH2: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4{m^2} + 8m + 9 < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{2 + \sqrt {13} }}{2}\\m < \dfrac{{2 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - 3 \pm i\sqrt {4{m^2} - 8m - 9} }}{2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {\dfrac{9}{4} + \dfrac{{4{m^2} - 8m - 9}}{4}} = \sqrt {{m^2} - 2m} = 2\\ \Rightarrow {m^2} - 2m = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 5 \\m = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Suy ra \(S = \left\{ {1 + \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 ;1 + \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right\}\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là: 4.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.