Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.

Câu 5911: Cho đường tròn (C) có bán kính R = 1, tiếp xúc với đường thẳng (d). Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi miền hình tròn quay quanh (d) một vòng.

A. V = 2 $\pi ^{3}$

B. V = 2

C. V = 2 $\pi ^{2}$

D. V = $\pi ^{2}$

Câu hỏi : 5911

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét đường tròn tâm I(0 ; 1), bán kính bằng 1 trong hệ tọa độ Oxy. Thể tích vật thể cần tìm chính bằng thể tích vật thể do miền hình tròn tâm I(0 ; 1) quay quanh Ox sinh ra.

Phương trình đường tròn là: x² + (y – 1)² = 1 ⇒ y = 1 ± $\sqrt{1-x^{2}}$ ; x ∈ [-1 ; 1].

Thể tích vật tròn xoay sinh ra bằng hiệu V₁ – V₂, với V₁, V₂ là thể tích hai vật thể tròn xoay đó.

Miền (EABCDE) quay quanh Ox. Miền (EAOCDOE) quay quanh Ox.

Miền (EABCDE): $\left\{\begin{matrix} y=1+\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\ x=-1;x=1 \end{matrix}\right.$

Miền (EAOCDOE): $\left\{\begin{matrix} y=1-\sqrt{1-x^{2}}\\y=0 \\x=-1;x=1 \end{matrix}\right.$

V₁ = $\pi$ $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ )² dx

V₂ = $\pi$ $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ )² dx

⇒ V = V₁ – V₂, = ( $\pi$ $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ )² dx - $\pi$ $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ )² dx)

⇒ V = 4 $\pi$ $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ ) dx

Ta tính tích phân: I = $\int_{-1}^{1}$ (1 + $\sqrt{1-x^{2}}$ ) dx

Đặt: x = sint , t ∈ [- $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ] ; dx = costdt

Đổi cận:

x

-1

1

t

- $\frac{\pi }{2}$
$\frac{\pi }{2}$

Ta được: V = 4 $\pi$ $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\sqrt{1-sin^{2}t}$ .costdt = 2 $\pi$ $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ 2cos² tdt

= 2 $\pi$ $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ (1 + cos2t)dt

= 2 $\pi$ $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ dt + 2 $\pi$ $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ cos2t.dt = 2 $\dpi{100} \pi ^{2}$ ⇒ V = 2 $\dpi{100} \pi ^{2}$ (đvtt)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.