Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc $\widehat{BAC}$ = 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.

Câu 5905: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R = 2a (a > 0). Góc $\widehat{BAC}$ = 120°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3. Gọi I là trung điểm BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ dieejnSABC theo a.

A. OB = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

B. OA = $\frac{a\sqrt{19}}{5}$

C. OB = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

D. OA = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

Câu hỏi : 5905

Quảng cáo

Đáp án :
(0) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải bằng tiếng việt để bạn bè cùng tham khảo!
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của BC

=> AI ⊥ BC => SI ⊥ BC.

Ta có AI là hình chiếu vuong góc của SI trên mặt phẳng (ABC).

Vậy góc giữa SI là hình chiếu của nó trên (ABC) là góc $\widehat{SIA}$

Tam giác ABC: BC = 2R sin A (định lý sin).

Mà R = 2a; $\widehat{BAC}$ = 120°

=> BC = 2R. sin 120° = 4a. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 2a√3

Tìm được: BC = 2a√3;

Lại có: I là trung điểm của BC nên BI = a√3;

Trong ∆SAI:

tan $\widehat{SIA}$ = $\frac{SA}{AI}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{a}$ => $\widehat{SIA}$ = 60°

∆ABI => AI = BI. cot $\widehat{BAI}$ = a√3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = a

Ta đã biết tâm mặt cầu ngoiaj tiếp SABC nằm trên trục của tam giác ABC ( đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC). Ở đây do tam giác ABC cân nên đường tròn ngoiaj tiếp của nó nằm trên AI, lại do bán kính của đường tròn đó R = 2a. Do đó tâm đường tròn ngoiaj tiếp tam giác ABC là J với Ạ = 2a ( như hình vẽ). Trục của tam giác ABC là đường thẳng Jt. Trong mặt phẳng (SAJ) dựng đường trung trực của SA cắt Jt tại O thì O chính là tâm cầu ngoại tiếp SABC. Bán kính cầu chính là OA. Xét tam giác AOJ có:

OA² = OJ² + JA² = ( $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ )² + (2a)² = $\frac{19a^{2}}{4}$

=> OA = $\frac{a\sqrt{19}}{2}$

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.