Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn \(f\left( x \right){\rm{ln}}f\left( x \right) = x\left( {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right)\), giá trị \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 651242: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn \(f\left( x \right){\rm{ln}}f\left( x \right) = x\left( {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right),\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right)\), giá trị \(f\left( 2 \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {12;14} \right)\).

B. \(\left( {4;6} \right)\).

C. \(\left( {1;3} \right)\).

D. \(\left( {6;8} \right)\).

Câu hỏi : 651242

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Biến đổi đưa về dạng \(\left[ {f\left( x \right)} \right]' = g\left( x \right)\) rồi nguyên hàm để tìm hằng số tự do.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có\(f\left( x \right){\rm{ln}}f\left( x \right) = x\left( {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow {\rm{ln}}f\left( x \right) = x\left( {1 - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{ln}}f\left( x \right) = x\left( {1 - {{({\rm{ln}}f\left( x \right))}^{\rm{'}}}} \right)\)
\(\; \Leftrightarrow {(x)^{\rm{'}}}{\rm{ln}}f\left( x \right) + x{({\rm{ln}}f\left( x \right))^{\rm{'}}} = x \Leftrightarrow {(x{\rm{ln}}f\left( x \right))^{\rm{'}}} = x.\)
Từ đó \(x{\rm{ln}}f\left( x \right) = \smallint xdx = \dfrac{1}{2}{x^2} + C\).
Cho \(x = 1\) ta được \({\rm{ln}}f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} + C\)
Cho \(x = 3\) ta được \(3{\rm{ln}}f\left( 3 \right) = \dfrac{9}{2} + C\)
Theo bài ra thì \(f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right)\), từ đó suy ra \(C = \dfrac{3}{2}\) nên \(f\left( x \right) = {e^{\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{{2x}}}}\).
Cho \(x = 2\) ta được \(f\left( 2 \right) = {e^{\dfrac{7}{4}}} \simeq 5,75\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.