Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z + \overline z \left| + \right|z - \overline z } \right| = 6$ và $ab \le 0$. Xét ${z_1}$ và ${z_2}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứr $\left| {{z_1} + 3i} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng

Câu 651243: Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z + \overline z \left| + \right|z - \overline z } \right| = 6$ và $ab \le 0$. Xét ${z_1}$ và ${z_2}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứr $\left| {{z_1} + 3i} \right| + \left| {{z_2}} \right|$ bằng

A. $3\sqrt 2 $.

B. 3.

C. $3\sqrt 5 $.

D. $3 + 3\sqrt 2 $.

Câu hỏi : 651243

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức $||\$ {z_1}| - |{z_2}|| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Từ giả thiết suy ra $\left| a \right| + \left| b \right| = 3 \Rightarrow a - b = \pm 3($ do $ab \le 0$ )
Do $\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương nên ${a_1} - {a_2} = - \left( {{b_1} - {b_2}} \right) < 0$ suy ra ${a_1} < {a_2}$ và ${a_1} + {b_1} = {a_2} + {b_2}$ (1)
Nếu ${a_1} - {b_1} = {a_2} - {b_2}$ thì ${z_1} = {z_2}$ (loại);
Vậy ${a_1} - {b_1} = - \left( {{a_2} - {b_2}} \right)\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${a_1} = {b_2},{a_2} = {b_1} \Rightarrow {a_1} < {a_2} = {b_1}$
Do đó ${a_1} - {b_1} = - 3 \Rightarrow {b_1} = {a_1} + 3 = x + 3$
$ \Rightarrow {z_1} = x + \left( {x + 3} \right)i,{z_2} = x + 3 + xi$
Vậy $\left| {{z_1} + 3i} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(x + 6)}^2}} + \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {x^2}} \ge \sqrt {{3^2} + {6^2}} = 3\sqrt 5 $
Dấu "=" xảy ra khi $x = - 2$.
Cách 2.
Từ giả thiết suy ra $\left| a \right| + \left| b \right| = 3 \Rightarrow a - b = \pm 3($ do $ab \le 0)$
Trên mặt phẳng $Oab$, vẽ 2 đoạn thẳng
$\left[ {AB} \right]:a - b = 3\left( {0 \le a \le 3} \right)$ với $A\left( {3;0} \right),B\left( {0; - 3} \right)$
$\left[ {A'B'} \right]:a - b = - 3\left( { - 3 \le a \le 0} \right)$ với $A'\left( { - 3;0} \right),B'\left( {0;3} \right)$
Gọi $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn cho số phức ${z_1},N\left( {a';b'} \right)$ biểu diễn cho số phức ${z_2}$. Thế thì $M,N$ chạy trên $\left[ {{\rm{AB}}} \right]$ hoặc [A'B'].
Ta có $\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {b - b'} \right) - \left( {a - a'} \right) - \left( {a - a'} \right)i - \left( {b - b'} \right)i} \right]$
Do $\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {b - b'} \right) - \left( {a - a'} \right) > 0}\\{\left( {b - b'} \right) + \left( {a - a'} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < a'}\\{b > b'}\\{a + b = a' + b'}\end{array}} \right.} \right.$
Khi đó $M \in \left[ {A'B'} \right],N \in \left[ {AB} \right]$.
Vậy $M\left( {a;a + 3} \right),N\left( {a';a' - 3} \right)$
Ta có $a + b = a' + b' \Leftrightarrow a + a - 3 = a' + a' + 3 \Leftrightarrow a' = a + 3$ nên $N\left( {a + 3;a} \right)$
Do vậy
$\left| {{z_1} + 3i} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {{(a + 6)}^2}} + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {a^2}} = \sqrt {{{( - a)}^2} + {{(a + 6)}^2}} + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {{( - a)}^2}} $
$ \ge \sqrt {{3^2} + {6^2}} = 3\sqrt 5 $
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{{a + 6}}{{ - a}} = \dfrac{{ - a}}{{a + 3}} > 0 \Leftrightarrow a = - 2$.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.