Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 3a\). Biết \(\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^ \circ }\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 6 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

Câu 675208: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 3a\). Biết \(\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^ \circ }\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 6 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

A. \(36\pi {a^2}\).

B. \(6\pi {a^2}\).

C. \(48\pi {a^2}\).

D. \(18\pi {a^2}\).

Câu hỏi : 675208

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Dựng hình vuông \(ABCD \Rightarrow SD \bot mp(ABCD)\).

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC chinh là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy:

\(R = \sqrt {\dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2}} \) (với \(h\) là độ dài đường cao, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Dựng hình vuông \(ABCD \Rightarrow SD \bot mp(ABCD)\).
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC chinh là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Kẻ \(DH \bot SC(H \in SC)\) mà \(BC \bot (SCD) \Rightarrow DH \bot (SBC)\).
Mặt khác \(AD\parallel BC \Rightarrow d(A;(SBC)) = d(D;(SBC)) = DH = a\sqrt 6 \).
Tam giác SCD vuông tại \(D\), có \(\dfrac{1}{{D{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}} \Rightarrow SD = 3\sqrt 2 a\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD là
\(R = \sqrt {R_{ABCD}^2 + \dfrac{{S{D^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{{{\left( {3\sqrt 2 a} \right)}^2}}}{4}} = 3a.\)
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {(3a)^2} = 36\pi {a^2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.