Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\,cm.\) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \(EF\) và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Câu 212853: Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\,cm.\) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \(EF\) và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

A. \(x=5\,\,\left( cm \right).\)

B. \(x=9\,\left( cm \right).\)

C. \(x=8\,\left( cm \right).\)

D. \(x=10\,\,\left( cm \right).\)

Câu hỏi : 212853

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính thể tích khối lăng trụ. Do chiều cao của lăng trụ cố định nên để thể tích lăng trụ là lớn nhất thì diện tích đáy phải lớn nhất. Ta đi tính diện tích đáy, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của diện tích đáy.

Đáp án : D
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Thể tích khối lăng trụ là: \(V=BC.{{S}_{AEG}}=30{{S}_{AEG}}.\) Theo giả thiết ta phải có \(2x<30\Leftrightarrow x<15.\)

Ta có tam giác \(\Delta AEG\) có độ dài các cạnh là \(AE=AG=x\,\left( cm \right),EG=30-2x\,\left( cm \right)\) nên diện tích là

\(S=\sqrt{15\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left[ 15-\left( 30-2x \right) \right]}=\sqrt{15{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}\,\left( c{{m}^{2}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \sqrt{15-x},\sqrt{15-x},\sqrt{2x-15} \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}=\sqrt{\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left( 2x-15 \right)}\le \sqrt{{{\left( \frac{\left( 15-x \right)+\left( 15-x \right)+\left( 2x-15 \right)}{3} \right)}^{3}}}=\sqrt{{{5}^{3}}}\,\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(S\le \sqrt{15}.\sqrt{{{5}^{3}}}=25\sqrt{3}.\) Do đó \(V\le 30.25\sqrt{3}=750\sqrt{3}\,\left( c{{m}^{3}} \right).\)

Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích \({{S}_{AEG}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó ta phải có \(\left\{ \begin{array}{l}15 - x = 2x - 15\\0 < x < 15\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn đáp án D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.