Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z+3|+|z-3|=10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:

Câu 213914: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z+3|+|z-3|=10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu hỏi : 213914

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(z=a+bi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(a,b\).

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki

\({{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\)

để đánh giá \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Đáp án : B
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\), theo giả thiết ta có

\(|a+bi+3|+|a+bi-3|=10\Leftrightarrow \sqrt{{{(a+3)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{(a-3)}^{2}}+{{b}^{2}}}=10\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(10=\sqrt{{{(a+3)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{(a-3)}^{2}}+{{b}^{2}}}\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}})({{(a+3)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a-3)}^{2}}+{{b}^{2}})}\) \(=\sqrt{2.(2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+18)}=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9}\)

Suy ra \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9}\ge 5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+9\ge 25\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 16\)

Do đó \(|z|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge 4\)

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai mô đun số phức.

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.