Cho hàm số y = $\frac{2x}{x-1}$ (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A,B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A,B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

Câu 59093: Cho hàm số y = $\frac{2x}{x-1}$ (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A,B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A,B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).

A. A(3;-3), B(-1;1)

B. A(-1;1), B(3;3)

C. A(3;3), B(-1;1)

D. cả B và C

Câu hỏi : 59093

Quảng cáo

Đáp án : D
(47) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
a. Khảo sát

TXĐ : D = R \{1}

Ta có: $\lim_{x\rightarrow -\infty }$ y= $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ y= 2 suy ra đường y = 2 là tiệm cận ngang

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}$ = +∞, $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}$ y = -∞  suy ra đường x =1 là tiệm cận đứng.

Ta có : y' = - $\frac{2}{(x-1)^{2}}$ < 0, với mọi x ≠ 1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao với Ox tại điểm O(0,0)

Đồ thị hàm số nhận I (1;2) làm tâm đối xứng.

b.

Vì A,B thuộc đồ thị hàm số nên A(a; $\frac{2a}{a-1}$ ), B(b; $\frac{2b}{b-1}$ ),  (a ≠ b), a ≠1, b ≠1i

Tiếp tuyến tại A,B có hệ số góc lần lượt là: f '(a) = - $\frac{2}{(a-1)^{2}}$ , f '(b) = - $\frac{2}{(b-1)^{2}}$

Do tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B song song với nhau nên:

ta có f'(a) = f'(b) <=> - $\frac{2}{(a-1)^{2}}$ = - $\frac{2}{(b-1)^{2}}$ <=> (a-1)² = (b-1)²<=> $\begin{bmatrix} a=b(l)\\ a+b=2 \end{matrix}$

Lại có $OA\perp OB$ => $\overrightarrow{OA}$ . $\overrightarrow{OB}$ = 0 <=> ab + $\frac{4ab}{(a-1)(b-1)}$ = 0 <=> $\begin{bmatrix} ab=0\\ \frac{4}{(a-1)(b-1)}=-1 \end{matrix}$

TH1) nếu ab=0 loại (vì nếu ab=0 thì A trùng O hoặc B trùng O)

TH2) $\frac{4ab}{(a-1)(b-1)}$ = -1 kết hợp a+b =2 suy ra : $\begin{bmatrix} a=-1, b=3\\ a=3, b=-1 \end{matrix}$ => A(-1;1), B(3;3) hoặc A(3;3), B(-1;1)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.