Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2013

Câu 1: Cho hàm số y = 2x³ – 3mx² + (m -1)x + 1 (1), với m là tham số thực. a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b)Tìm m để đường thẳng y = -x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

Câu 2: Giải phương trình sin3x + cos2x – sinx = 0.

Câu 3: Giải phương trình 2log₂x +  (1 - √x) = (x - 2√x + 2).

Câu 4: Tính tích phân I = dx.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA  vuông góc với đáy ,  = 120⁰, M là trung điểm của cạnh BC và  = 45⁰. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =  - .

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M( - ; ) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(-2;4) và điểm I(-1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; -1;-2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. Tính môđun của số phức w = .

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): (x -1)² + (y – 1)² = 4 và đường thẳng ∆: y -3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C ). Tìm tọa độ điểm P.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;3 ; -2) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).