Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân tại A. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} =

Câu hỏi số 196413:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân tại A. $AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.$ Mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ tạo với đáy một góc ${60^0}$ . Thể tích khối lăng trụ là:

$2{a^3}$

$\dfrac{{3{a^3}}}{8}$

$\dfrac{{{a^3}}}{3}$

$3{a^3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196413

Phương pháp giải

+) Xác định góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và mặt đáy.

+) Tính AA’.

+) Tính diện tích đáy: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}$

+) ${V_{lt}} = {S_{day}}.h$

Giải chi tiết

Gọi D là trung điểm của B’C’. Vì tam giác $A'B'C'$ cân tại A’ nên $A'D \bot B'C'$ (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Ta có: $\left. \begin{array}{l}A'D \bot B'C'\\AA' \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD$

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD;A'D} \right)} = \widehat {ADA'} = {60^0}\end{array}$

Vì tam giác $A'B'C'$ cân tại A’ nên $\widehat {DA'C'} = \dfrac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = {60^0}$ (trung tuyến đồng thời là phân giác)

Xét tam giác vuông $A'DC'$ có: $A'D = A'C'.cos60 = 2a.\dfrac{1}{2} = a$

Xét tam giác vuông $AA'D$ có: $AA' = A'D.\tan 60 = a.\sqrt 3$

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.