Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Biết tích của khoảng cách từ điểm \(B'\) và điểm \(D\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Biết tích của khoảng cách từ điểm \(B'\) và điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {D'AC} \right)\) bằng \(6{a^2}\left( {a > 0} \right)\) . Giả sử thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(k{a^3}.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\), tính \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)\) theo \(x\).
+) So sánh \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)\) và \(d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)\), từ đó tính \(d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)\) theo \(x\).
+) Theo bài ra ta có: \(d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right).d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 6{a^2}\), tìm \(x\) theo \(a\) và tính thể tích khối lập phương.
Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right)\).
Trong \(\left( {ODD'} \right)\) kẻ \(OH \bot OD'\,\,\left( {H \in OD'} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}DH \bot OD'\\DH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {D'AC} \right) \Rightarrow d\left( {D'\left( {D'AC} \right)} \right) = DH\).
Gọi cạnh của hình lập phương là \(x\) ta có \(DD' = x,\,\,OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DD'O\) ta có:
\(DH = \frac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \frac{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}.x}}{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} + {x^2}} }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).
Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) gọi \(M = BD \cap OD' \Rightarrow BD \cap \left( {D'AC} \right) = M\) ta có:
\(\frac{{d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{B'M}} = \frac{{OD}}{{B'D'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 2d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{{2x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = 6{a^2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a\).
Do đó thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {3a} \right)^3} = 27{a^3} \Rightarrow k = 27 \in \left( {20;30} \right)\).
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com