Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Biết tích của khoảng cách từ điểm $B'$ và điểm $D$

Câu hỏi số 310871:

Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'.$ Biết tích của khoảng cách từ điểm $B'$ và điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {D'AC} \right)$ bằng $6{a^2}\left( {a > 0} \right)$ . Giả sử thể tích của khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ là $k{a^3}.$ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

$k \in \left( {20;30} \right)$

$k \in \left( {100;120} \right)$

$k \in \left( {50;80} \right)$

$k \in \left( {40;50} \right)$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310871

Phương pháp giải

+) Gọi cạnh của hình lập phương là $x$ , tính $d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)$ theo $x$ .

+) So sánh $d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)$ và $d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)$ , từ đó tính $d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)$ theo $x$ .

+) Theo bài ra ta có: $d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right).d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 6{a^2}$ , tìm $x$ theo $a$ và tính thể tích khối lập phương.

Giải chi tiết

Gọi $O = AC \cap BD$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ODD'} \right)$ .

Trong $\left( {ODD'} \right)$ kẻ $OH \bot OD'\,\,\left( {H \in OD'} \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}DH \bot OD'\\DH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {D'AC} \right) \Rightarrow d\left( {D'\left( {D'AC} \right)} \right) = DH$ .

Gọi cạnh của hình lập phương là $x$ ta có $DD' = x,\,\,OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $DD'O$ ta có:

$DH = \frac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \frac{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}.x}}{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} + {x^2}} }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$ .

Trong $\left( {BDD'B'} \right)$ gọi $M = BD \cap OD' \Rightarrow BD \cap \left( {D'AC} \right) = M$ ta có:

$\frac{{d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{B'M}} = \frac{{OD}}{{B'D'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B';\left( {D'AC} \right)} \right) = 2d\left( {D;\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}$

Theo bài ra ta có: $\frac{{2x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = 6{a^2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a$ .

Do đó thể tích khối lập phương là $V = {\left( {3a} \right)^3} = 27{a^3} \Rightarrow k = 27 \in \left( {20;30} \right)$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.