Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:y = \dfrac{{m - 1}}{m}x - m + 1,\) với \(m \ge

Câu hỏi số 422969:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:y = \dfrac{{m - 1}}{m}x - m + 1,\) với \(m \ge \dfrac{3}{2}\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho độ dài đoạn \(AB\) ngắn nhất.

A. \(m = \dfrac{5}{2}\)

B. \(m = \dfrac{3}{2}\)

C. \(m = \dfrac{1}{2}\)

D. \(m = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422969

Giải chi tiết

Với \(m \ge \dfrac{3}{2}\) ta có:

Giao điểm của đường thẳng \(d\) và trục tung là \(A\left( {0;y} \right)\).

Vì \(A\left( {0;y} \right) \in d\) nên \(y = \dfrac{{m - 1}}{m}.0 - m + 1 = 1 - m\). Suy ra \(A\left( {0;1 - m} \right)\).

Giao điểm của đường thẳng \(d\) và trục hoành là \(B\left( {x;0} \right)\).

Vì \(B\left( {x;0} \right) \in d\) nên \(0 = \dfrac{{m - 1}}{m}.x - m + 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1}}{m}x = m - 1 \Leftrightarrow x = m\) (vì \(m \ge \dfrac{3}{2}\)). Suy ra \(B\left( {m;0} \right)\).

Với \(m \ge \dfrac{3}{2}\) ta có: \(A\left( {0;1 - m} \right) \Leftrightarrow OA = \left| {1 - m} \right| = m - 1\).

\(B\left( {m;0} \right) \Leftrightarrow OB = \left| m \right| = m\)

Xét tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), theo định lý Pytago ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\) \( = {\left( {m - 1} \right)^2} + {m^2} = 2{m^2} - 2m + 1\)\( = 2\left( {{m^2} - m + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{2} = 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\).

Vì \(m \ge \dfrac{3}{2}\) nên \({\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge {\left( {\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 1\).

\( \Rightarrow 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge 2.1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).

Ta có: \(A{B^2}\) nhỏ nhất bằng \(\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).

Vậy độ dài \(AB\) nhỏ nhất là \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link