Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia số đó cho \(18;\,\,24;\,\,30\) có

Câu hỏi số 515167:

Vận dụng cao

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số, biết rằng khi chia số đó cho \(18;\,\,24;\,\,30\) có số dư lần lượt là \(13;\,\,19;\,\,25\).

A. \(1705\)

B. \(1570\)

C. \(1750\)

D. \(1075\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515167

Phương pháp giải

Đưa bài toán về dạng tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi số cần tìm là \(a\,\,\left( {a \in \mathbb{N};\,\,1000 \le a \le 9999} \right)\).

Vì \(a\) chia cho \(18\) dư \(13\) nên ta có: \(a = 18.q + 13\)

\( \Rightarrow a + 5 = 18.q + 18\, = 18.\left( {q + 1} \right)\, \vdots \,\,18\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(a\) chia cho \(24\) dư \(19\) nên ta có: \(a = 24.p + 19\)

\( \Rightarrow a + 5 = 24.p + 24 = 24.\left( {p + 1} \right) \vdots 24\) \(\left( 2 \right)\)

Vì \(a\) chia cho \(30\) dư \(25\) nên ta có: \(a = 30.t + 25\)

\( \Rightarrow a + 5 = 30.p + 30 = 30.\left( {p + 1} \right) \vdots 30\) \(\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left( {a + 5} \right) \in {\mathop{\rm BC}\nolimits} \left( {18;\,\,24;\,\,30} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}18 = {2.3^2}\\24 = {2^3}.3\\30 = 2.3.5\end{array}\)

\( \Rightarrow {\mathop{\rm BCNN}\nolimits} \left( {18;\,\,24;\,\,30} \right) = {2^3}{.3^2}.5 = 360\)

\( \Rightarrow \left( {a + 5} \right)\,\, \vdots \,\,360\)

\( \Rightarrow a + 5 = 360k\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Rightarrow a = 360k - 5\) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\)

Ta thấy, \(k\) càng lớn thì \(a\) càng lớn, vì vậy, để \(a\) là số nhỏ nhất thì \(k\) nhỏ nhất.

Với \(k = 1\) thì \(a = 355 < 1000\): không thỏa mãn

Với \(k = 2\) thì \(a = 715 < 1000\): không thỏa mãn

Với \(k = 3\) thì \(a = 1075\): thỏa mãn

Vậy số cần tìm là \(1075\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.