Cho biểu thức\(P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x

Câu hỏi số 539923:

Vận dụng

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$ với $x > 0,\,\,\,x \ne 1$ .

a) Chứng minh rằng $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ .

b) Tìm $x$ để $2P = 2\sqrt x + 5$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539923

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ .

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\P = \dfrac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\P = \dfrac{{x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}$

b) Tìm $x$ để $2P = 2\sqrt x + 5$ .

$\begin{array}{l}2P = 2\sqrt x + 5 \Leftrightarrow 2\left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}} \right) = 2\sqrt x + 5\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 = \sqrt x \left( {2\sqrt x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \\ \Leftrightarrow 2x + 3\sqrt x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt $\sqrt x = t\,\,\left( {t > 0,\,\,t \ne 1} \right)$

$\left( * \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t - 2 = 0$

$\Delta = {3^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 25 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {25} }}{4} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {25} }}{4} = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

$t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {tmdk} \right)$ .

Cách 2: $2x + 3\sqrt x - 2 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0\\\sqrt x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \dfrac{1}{2}\\\sqrt x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\\x \in \emptyset \end{array} \right.\end{array}$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.