Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn \(2021\), thỏa mãn \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} =

Câu hỏi số 553520:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,y,\,z\) là các số thực lớn hơn \(2021\), thỏa mãn \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{{2021}}\). Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: \(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).

Xem lời giải

Câu hỏi:553520

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ;\sqrt y ;\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\dfrac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }};\dfrac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\dfrac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\).

Giải chi tiết

Từ giả thuyết đề bài suy ra \(\dfrac{{2021}}{x} + \dfrac{{2021}}{y} + \dfrac{{2021}}{z} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{x - 2021}}{x} + \dfrac{{y - 2021}}{y} + \dfrac{{z - 2021}}{z} = 3 - 2 = 1\)

Suy ra \(x + y + z = (x + y + z)\left( {\dfrac{{x - 2021}}{x} + \dfrac{{y - 2021}}{y} + \dfrac{{z - 2021}}{z}} \right)\) (*)

Do \(x,y,z > 2021\) nên \(x - 2021;y - 2021;z - 2021 > 0\). Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ;\sqrt y ;\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\dfrac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }};\dfrac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\dfrac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\), từ (*) ta được:

\(x + y + z \ge {(\sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} )^2}\)

Do đó, \(\sqrt {x + y + z} \ge \sqrt {x - 2021} + \sqrt {y - 2021} + \sqrt {z - 2021} \).

Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z = \dfrac{{6063}}{2}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.