a) Cho \(A = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {3^{2024}}\). Chứng minh rằng A chia hết cho

Câu hỏi số 731031:

Vận dụng cao

a) Cho \(A = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {3^{2024}}\). Chứng minh rằng A chia hết cho 120 .
b) Tìm các số nguyên \(x,y\) biết: \(x + 10y + 2xy + 1 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:731031

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có: \({3^1} = 3;{3^2} = 9;{3^3} = 27;{3^4} = 81\)

Do đó: \({3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} = 3 + 9 + 27 + 81 = 120\)
Nên:

\(A = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {3^{2024}}\)

\( = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + \left( {{3^5} + } \right.\left. {{3^6} + {3^7} + {3^8}} \right) + \ldots + \left( {{3^{2021}} + {3^{2022}} + {3^{2023}} + {3^{2024}}} \right)\)

\( = \left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + {3^4}\left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right) + \ldots + {3^{2020}}\left( {{3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4}} \right)\)

\( = 120 + {3^4}.120 + \ldots + {3^{2020}}.120\)

\( = 120.\left( {1 + {3^4} + \ldots + {3^{2020}}} \right) \vdots 120\).
Vậy \({\rm{A}} = {3^1} + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + \ldots + {3^{2024}} \vdots 120\).

b) \(x + 10y + 2xy + 1 = 0\)

\((x + 2xy) + (10y + 5) = 4\)

\(x(1 + 2y) + 5(2y + 1) = 4\)

\(\left( {x + 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 4\)

\(x + 5{\rm{\;}}\) và \(2y + 1\) là ước của 4

Ư(4) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Mà \(2y + 1\) là số lẻ nên \(2y + 1\) chỉ là ước lẻ của 4.

Khi đó:

\(2y + 1 = 1\) hay \(y = 0\)

\(2y + 1 = - 1\) hay \(y = - 1\)
Tính được \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 9; - 1} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link