Giải hệ phương trình (x, y ∈R).

Câu hỏi số 12608:

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y\\x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0\end{matrix}\right.$ (x, y ∈R).

A. Nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (2;-1).

B. Nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (2;1).

C. Nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (-2;1).

D. Nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (-1;0) và (2;1).

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:12608

Giải chi tiết

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y(1)\\x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0(2)\end{matrix}\right.$

Điều kiện: x ≥ 1. Từ (2) ta được 4y = (x + y – 1)², suy ra y ≥ 0 .

Đặt u = $\sqrt[4]{x-1}$ , suy ra u ≥ 0. Phương trình (1) trở thành: $\sqrt{u^{4}+2}$ + u = $\sqrt{y^{4}+2}$ + y (3).

Xét f(t) = $\sqrt{t^{4}+2}$ + t, với t ≥ 0. Ta có f’(t) = $\frac{2t^{3}}{\sqrt{t^{4}+2}}$ + 1, ∀t ≥ 0.

Do đó phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa là x = y⁴ + 1.

Thay vào phương trình (2) ta được y(y⁷ + 2y⁴ + y – 4) = 0 (4)

Hàm g(y) = y⁷ + 2y⁴ + y – 4 có g’(y) = 7y⁶ + 8y³ + 1 > 0 với mọi y ≥ 0.

Mà g(1) = 0, nên (4) có hai nghiệm không âm là y = 0 và y = 1.

Với y = 0 ta được nghiệm (x; y) = (1;0 ); với y = 1 ta được nghiệm (x;y) = (2;1).

Vậy nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (2;1).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.