Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(+)-9(+)

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14473:

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: 2(a²+b²)+ab=(a+b)(ab+2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4( $\frac{a^{3}}{b^{3}}$ + $\frac{b^{3}}{a^{3}}$ )-9( $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ )

A. P_min= $-\frac{4}{3}$

B. P_min= $-\frac{23}{4}$

C. P_min= $\frac{3}{4}$

D. P_min= $\frac{23}{4}$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:14473

Giải chi tiết

Trước tiên với ẩn phụ t= $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ (t≥2) ta viết lại P dưới dạng:

P=4[ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{3}$ - 3( $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ )] -9[ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}$ -2]

=4(t³-3t)-9(t²-2)=4t³-9t²-12t+18

Với a,b dương ta đi biến đổi điều kiện:

2(a²+b²)+ab=(a+b)ab+2(a+b)

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho ab ta được:

2( $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ )+1≥ $\sqrt{2(a+b)(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})}$ =2 $\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$

Từ đó suy ra:

2( $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ )+1≥2 $\sqrt{2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}$ <=>2t+1≥2 $\sqrt{2(t+2)}$

<=>(2t+1)² ≥8(t+2)<=>4t²-4t-15≥0 => t≥ $\frac{5}{2}$

Xét hàm số f(t)=4t³-9t²-12t+18 trên [ $\frac{5}{2}$ ;+∞), ta có:

f'(t)=12t²-18t-12=6(2t²-3t-2)=6t(2t-5)+12t-12>0

=> Hàm số f(t) đồng biến trên [ $\frac{5}{2}$ ;+∞)

Từ đó f_min=f( $\frac{5}{2}$ )= $-\frac{23}{4}$

Vậy ta có P_min= $-\frac{23}{4}$ đạt được khi:

t= $\frac{5}{2}$ => $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2}\\a+b=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2}\\a+b=\frac{2(a+b)}{ab} \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5}{2}\\ab=2 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\\ab=2 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} (a+b)^{2}-2ab=5\\ab=2 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} (a+b)^{2}=9\\ab=2 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ab=2 \end{matrix}\right.$

Suy ra a,b là nghiệm của phương trình:

x²-3x+2=0<=> $\begin{bmatrix} x=1\\x=2 \end{bmatrix}$ => $\begin{bmatrix} a=1,b=2\\a=2,b=1 \end{bmatrix}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.