Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a≥3,b≥4, c≥2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14483:

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a≥3,b≥4, c≥2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= $\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$

A. Amax=3+ $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

B. Amax= $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

C. Amax= $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ +2

D. Amax= $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ + $\frac{1}{4}$

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:14483

Giải chi tiết

Ta lần lượt có:

ab $\sqrt{c-2}$ = $\frac{ab}{\sqrt{2}}$ $\sqrt{2(c-2)}$ ≤ $\frac{ab}{\sqrt{2}}$ . $\frac{2+(c-2)}{2}$ = $\frac{abc}{2\sqrt{2}}$ (cô si) (1)

bc $\sqrt{a-3}$ = $\frac{bc}{\sqrt{3}}$ $\sqrt{3(a-3)}$ ≤ $\frac{bc}{\sqrt{3}}$ . $\frac{3+(a-3)}{2}$ = $\frac{abc}{2\sqrt{3}}$ (cô si) (2)

ca $\sqrt{b-4}$ = $\frac{ca}{\sqrt{4}}$ $\sqrt{4(b-4)}$ ≤ $\frac{ca}{\sqrt{4}}$ . $\frac{4+(b-4)}{2}$ = $\frac{abc}{4}$ (cô si) (3)

Cộng vế (1),(2),(3) ta được:

ab $\sqrt{c-2}$ +bc $\sqrt{a-3}$ +ca $\sqrt{b-4}$ ≤ $\frac{abc}{2\sqrt{2}}$ + $\frac{abc}{2\sqrt{3}}$ + $\frac{abc}{4}$

<=> A≤ $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ + $\frac{1}{4}$ , đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} 2=c-2\\3=a-3 \\4=b-4 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} a=4\\c=6 \\b=8 \end{matrix}\right.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.