Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; - 1), B(1; 1; 2), C( - 1; 2; - 2) và mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt BC tại I sao cho IB = 2IC.

Câu hỏi số 15974:

A. Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z + 3 = 0.

B. Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x - y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.

C. Phương trình thỏa mãn đề bài là: 2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.

D. Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:15974

Giải chi tiết

Gọi φ là góc tạo bởi BC và mặt phẳng (α) cần viết

=> sinφ = $\frac{d(B,(\alpha ))}{IB}$ = $\frac{d(C,(\alpha ))}{IC}$

Theo giả thiết IB = 2IC ⇔ $\frac{d(B,(\alpha ))}{2IC}$ = $\frac{d(C,(\alpha ))}{IC}$ ⇔ d(B, (α)) = 2d(C, (α))

Gọi $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ (a, b, c) (a, b , c không đồng thời bằng 0)

(α) qua A(1; 1; - 1) => Phương trình: a(x – 1) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0 ⇔ ax + by + cz – a – b – c = 0

d(B, (α)) = $\frac{|a+b+2c-a-b+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = $\frac{|3c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

d(C, (α)) = $\frac{|-a+2b-2c-a-b+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = $\frac{|-2a+b-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

=> $\frac{|3c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = 2 $\frac{|-2a+b-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

⇔ $\begin{bmatrix}3c=2(-2a+b-c)\\3c=-2(-2a+b-c)\end{bmatrix}$

⇔ $\begin{bmatrix}4a-2b+5c=0\\4a-2b-c=0\end{bmatrix}$ (1)

Do (α) ⊥ (P) ⇔ $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ . $\overrightarrow{n_p}$ = 0 ⇔ 1.a + (- 2)b + 2.c = 0 ⇔ a – 2b + 2c = 0 (2)

Từ (1) và (2) => Hệ $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a-2b+2c=0\\4a-2b+5c=0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a-2b+2c=0\\4a-2b-c=0 \end{matrix}\right.\end{bmatrix}$ ⇔ $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a=-c\\b=\frac{1}{2}c\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a=c\\b=\frac{3}{2}c \end{matrix}\right.\end{bmatrix}$ => $\begin{bmatrix}\overrightarrow{n_{\alpha }}=(-c;\frac{1}{2}c;c)\\\overrightarrow{n_{\alpha }}=(c;\frac{3}{2}c;c)\end{bmatrix}$

Với $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ ( - c; $\frac{1}{2}$ c; c) , (α) qua A(1; ;1; -1)

=> Phương trình : - c(x – 1) + $\frac{1}{2}$ c(y – 1) + c(z + 1) = 0

⇔ - (x – 1) + $\frac{1}{2}$ (y – 1) + (z + 1) = 0 ⇔ - 2x + y + 2z + 3 = 0

Với $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ (c; $\frac{3}{2}$ c; c), (α) qua A(1; 1; -1)

=> Phương trình: c(x – 1) + $\frac{3}{2}$ c(y – 1) + c(z + 1) = 0 ⇔ (x – 1) + $\frac{3}{2}$ (y – 1) + (z + 1) = 0 ⇔ 2x + 3y + 2z – 3 = 0

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.