Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A( - 1; 2; - 3), B(2; - 1; - 6) và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc α thỏa mãn cosα = .

Câu hỏi số 15973:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A( - 1; 2; - 3), B(2; - 1; - 6) và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc α thỏa mãn cosα = $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

A. Phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn đề bài là: y – z – 5 = 0 hoặc - 5x + 3y – 8z – 35 = 0 .

B. Phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn đề bài là: y – z – 5 = 0 hoặc - 5x + 3y + 8z – 35 = 0.

C. Phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn đề bài là: y – z – 5 = 0 hoặc 5x + 3y – 8z – 35 = 0.

D. Phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn đề bài là: y + z – 5 = 0 hoặc - 5x + 3y – 8z – 35 = 0.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:15973

Giải chi tiết

Có $\overrightarrow{AB}$ = (3; - 3; - 3)

Gọi $\overrightarrow{n_{Q}}$ (a, b , c) (a, b , c không đồng thời bằng 0)

Vì (Q) chứa $\overrightarrow{AB}$ => $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{n_{Q}}$ = 0 ⇔ 3a + (- 3)b + ( - 3)c = 0 ⇔ a – b – c = 0 (1)

Có $\overrightarrow{n_{P}}$ (1; 2; 1)

=> cosα = $\frac{|\overrightarrow{n_{p}}.\overrightarrow{n_{Q}}|}{|\overrightarrow{n_{p}}|.|\overrightarrow{n_{Q}}|}$ = $\frac{|a+2b+c|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}.\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{6}$

⇔ $\frac{1}{\sqrt{6}}$ |a + 2b + c| = $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

⇔ √6|a + 2b + c | = √3 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

⇔ √2|a + 2b + c| = $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

⇔ 2(a + 2b + c)² = a² + b² + c² (2)

Từ (1) => c = a – b thay vào (2)

2(a + 2b + a – b)² = a² + b² + a² – 2ab + b² ⇔ 8a² + 8ab + 2b² = 2a² + 2b² – 2ab ⇔ 6a² + 10ab = 0

⇔ $\begin{bmatrix}a=0\\a=-\frac{5}{3}b\end{bmatrix}$

Với a = 0 => c = - b => $\overrightarrow{n_{Q}}$ (0; b ; - b), (Q) qua A(- 1; 2; -3)

=> Phương trình 0(x + 1) + b(y – 2) – b(z + 3) = 0 ⇔ y – z – 5 = 0

Với a = - $\frac{5}{3}$ b => c = - $\frac{8}{3}$ b => $\overrightarrow{n_{Q}}$ ( - $\frac{5}{3}$ b; b; - $\frac{8}{3}$ b)

(Q) qua A( - 1; 2; - 3)

=>Phương trình : - b(x + 1) + b(y – 2) – b(z + 3) = 0 ⇔ -5(x + 1) + 3(y – 2) – 8(z + 3) = 0 ⇔ - 5x + 3y – 8z – 35 = 0

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.