Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC, biết SG(ABC), SB=. Tính thể tích khối chóp S,ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a.

Câu hỏi số 16202:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC, biết SG $\small \perp$ (ABC), SB= $\small \frac{a\sqrt{14}}{2}$ . Tính thể tích khối chóp S,ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a.

A. $\small V=\frac{3a^{3}}{4};d(B;(SAC))=\frac{a}{\sqrt{3 }}$

B. $\small V=\frac{9a^{3}}{4};d(B;(SAC))=\frac{a}{\sqrt{3 }}$

C. $\small V=\frac{3a^{3}}{4};d(B;(SAC))=a\sqrt{3}$

D. $\small V=\frac{9a^{3}}{4};d(B;(SAC))=a\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16202

Giải chi tiết

(hs tự vẽ hình)

Tam giác ABC vuông cân tại C có AB=3a nên: AC=BC= $\small \frac{3a}{\sqrt{2}}$

Diện tích tam giác ABC là: $\small S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}.(\frac{3a}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{9a^{2}}{4}$

Gọi J là giao điểm của BG và AC.=>J là trung điểm của AC.

Ta có:

BJ= $\small \sqrt{BC^{2}+CJ^{2}}=\sqrt{(\frac{3a}{\sqrt{2}})^{2}+(\frac{3a}{2\sqrt{2}})^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$ a

BG= $\small \frac{2}{3}BJ=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

SG $\small \perp$ (ABC) nên SG $\small \perp$ BG

Xét tam giác SGB vuông tại G ta có: $\small SG=\sqrt{SB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{14}}{2})^{2}-(a\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}}=a$

Thể tích khối chóp S.ABC là: $\small V=\frac{1}{3}.SG.S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{9a^{2}}{4}=\frac{3a^{3}}{4}$ (đvtt)

+) Tính khoảng cách từ B đến (SAC):

Kẻ GK vuông góc AC. Trong (SKG): kẻ GH vuông góc với SK.

=> Khoảng cách từ G đến (SAC) là GH

Ta có: GK= $\small \frac{1}{3}BC=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác SKG vuông tại G ta có: $\small \frac{1}{GH^{2}}=\frac{1}{SG^{2}}+\frac{1}{KG^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$

=>d(G;(SAC))=GH= $\small \frac{a}{\sqrt{3}}$

Ta có: $\small \frac{d(B;(SAC))}{d(G;(SAC))}=\frac{BJ}{GJ}=3$

=> d(B;(SAC))=3d(G;(SAC))=3GH=a $\small \sqrt{3}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.