Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau M= + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16203:

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

M= $x(\frac{x^{3}}{4}+\frac{1}{yz})$ + $y(\frac{y^{3}}{4}+\frac{1}{zx})$ + $z(\frac{z^{3}}{4}+\frac{1}{xy})$

A. minM=- $\frac{15}{4}$

B. minM= $\frac{15}{4}$

C. minM= $\frac{4}{15}$

D. minM=- $\frac{4}{15}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16203

Giải chi tiết

Ta có M= $=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{z^4}{4}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$

$=\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{z^4}{4}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}$

Ta có $\left.\begin{matrix} (x-y)^2 \geq0\\ (y-z)^2 \geq0 \\(z-x)^2 \geq0 \end{matrix}\right\} =>x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq xy+yz+zx$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Suy ra M $\geq$ $\frac{x^4}{4}+\frac{y^4}{4}+\frac{z^4}{4}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}$

<=> M $\geq(\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{x})+ (\frac{y^{4}}{4}+\frac{1}{y})+ (\frac{z^{4}}{4}+\frac{1}{z})$

Áp dụng bđt Cô si cho 5 số dương ta có

$\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{x}=\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x} \geq5\sqrt[5]{\frac{x^{4}}{4}\frac{1}{4x}\frac{1}{4x}\frac{1}{4x}\frac{1}{4x}}=\frac{5}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{4x}<=>x=1$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{y^{4}}{4}+\frac{1}{y} \geq\frac{5}{4}$ . Dấu "=" xảy ra $<=>\frac{y^{4}}{4}=\frac{1}{4y} <=>y=1$

$\frac{z^{4}}{4}+\frac{1}{z} \geq\frac{5}{4}$ . Dấu "=" xảy ra $<=>\frac{z^{4}}{4}=\frac{1}{4z}<=>z=1$

Suy ra M $\geq\frac{15}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

Vậy minM= $\frac{15}{4}$ . Đạt được khi x=y=z=1

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.